Apuntes de Gráficos

Coordenadas homogéneas (espacios proyectivos)

Objetivos Espacio
vectorial
Espacio afín Espacio proyectivo 2D Espacio proyectivo 3D Interpretación Operación Transformaciones


Objetivos

  1. En 2D las rectas siempre se deben cortar
  2. En 3D los planos siempre se deben cortar y las rectas siempre deben cortar a los planos
  3. Tratamiento homogéneo de todas las transformaciones (traslación, escala, ...)
  4. Un conjunto de transformaciones se podrá representar por una única matriz de transformación

Espacio vectorial Vn

  1. Basado en vectores: módulo, dirección, sentido
  2. Operaciones:
    1. Suma (resta): vector nulo:
    2. Producto por escalar
    3. Combinación lineal
    4. Producto escalar
    5. Producto vectorial ()
  3. Ejemplo:

Espacio afín An

  1. Basado en puntos: ninguno privilegiado
  2. Operaciones
    1. Diferencia de puntos:
    2. Suma de punto y vector:
  3. Distancia
  4. Sistemas de coordenadas: punto origen y vectores base
  5. Ejemplo:

Coordenadas homogéneas en 2D: espacio proyectivo P2

  1. P2 es conjunto cociente:

    ej: (2,1,1) , (4,2,2) , (10,5,5) ... son el mismo punto en P2
  2. Paso de espacio afín al espacio proyectivo (coordenadas homogéneas)
    es inyectiva
    ej: punto afín (2,1) , punto en coordenadas homogéneas correspondiente (2,1,1)
  3. Puntos propios () e impropios o ideales ()
    1. Puntos impropios no tienen ningún punto correspondiente en el espacio afín
  4. Rectas en P2:
    1. Implícita en P2:
    2. Implícita en A2:
    3. Paramétrica en P2:
    4. Paramétrica en A2:
    5. Recta ideal o impropia: (definida por dos puntos P0, P1 impropios)
    6. es punto impropio de la recta: (a2,-a1,0) (es la intersección con la recta ideal w=0)
    7. Rectas en P2 siempre se cortan (¡incluso las paralelas!)

Coordenadas homogéneas en 3D: espacio proyectivo P3

  1. Conjunto cociente
  2. es inyectiva
  3. Planos en P3:
    1. Implícita en P3:
    2. Implícita en A3:
    3. Paramétrica en P3:
    4. Paramétrica en A3:
    5. Plano ideal o impropio:
    6. es recta impropia del plano (intersección con plano ideal w=0)
    7. Planos en P3 siempre se cortan (¡incluso los paralelos!)
  4. Rectas en P3:
    1. Implícita en P3:
    2. Implícita en A3:
    3. Paramétrica en P3:
    4. Paramétrica en A3:
    5. es punto impropio de la recta (intersección con plano ideal w=0)
    6. Una recta y un plano en P3 siempre se cortan (¡incluso si son paralelos!)

Interpretación

  1. Mezcla de espacio vectorial (w=0) y afín (w <> 0)
  2. Añadir puntos del infinito (impropios) al espacio afín
  3. Planos w=1 (puntos: espacio afín) y w=0 (vectores, puntos del infinito) de P2
  4. Puntos impropios como direcciones

Modo de operación

  1. Paso de puntos afines a puntos en coordenadas homogéneas

    ej: (3,2) -> (3,2,1)
  2. Transformaciones en Pn (traslación, rotación, escala, ...)

    ej: (3,2,1) -> (4,8,2)
  3. Paso de puntos en coordenadas homogéneas a puntos afines

    ej: (4,8,2) -> (2,4)
    No se puede realizar para puntos impropios

Ejemplo de transformaciones en P2

  1. Usamos vectores fila (x,y,w)
  2. Traslación según :
    1. Transformación:
    2. Paso a coordenadas homogéneas
    3. Matriz de transformación:
    4. ¡Sin forma matricial en espacio afín!
  3. Escala (homotecia) según factores (a,b):
    1. Transformación:
    2. Paso a coordenadas homogéneas
    3. Matriz de transformación:


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Página creada por Pedro J. Pascual Broncano y Antonio Gutiérrez
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