Programa

Tema 1: Introducción a la computación numérica.

Introducción.

• Motivación.
• Breve historia de la computación científica.
• El futuro de la computación numérica.

Representación de números.

• Números enteros.
• Números reales.
• Representación coma fija.
• Representación coma flotante.

Errores

• Origen de los errores.
• Tipos de errores.
• Propagación de errores.
• Cálculo de intervalos.
• Fórmulas basadas en el desarrollo de Taylor.

Algoritmos numéricos

• Complejidad.
• Eficiencia.
• Estabilidad.
• Paralelización.

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Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales.
 

Introducción.

• Sistemas subdeterminados: Matrices singulares.
• Sistemas incompatibles: Soluciones aproximadas.
• Sistemas no patológicos: Regla de Cramer.
• Inestabilidades numéricas en sistemas mal condicionados.

Aplicaciones

• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Inversión de matrices.
• Cálculo de determinantes.

Métodos directos.

• Métodos de eliminación
• Eliminación de Gauss.
• Eliminación de Gauss-Jordan.
• Utilización de pivote.
• Descomposición triangular
• Descomposición LU: Algoritmo de Crout.
• Descomposición de Cholesky.

Métodos iterativos.

Métodos perturbativos.

• Método de Jacobi.
• Métod de Gauss-Seidel.

 

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Tema 3: Autovalores y autovectores.
 

Introducción.

• Definiciones
• Polinomio característico.

Métodos iterativos.

• Método de potencias.
• Deflacción.
• Iteración inversa.

Métodos basados en transformaciones.

• Rotaciones.

Método de Jacobi.

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Tema 4: Resolución de ecuaciones no lineales.
 

Fórmulas analíticas.

Ceros de polinomios.

Métodos basados en el conocimiento de la función.

• Bisección.
• Secante.
• Regula falsi.

Método Newton-Raphson. Generación de fractales.

Métodos de punto fijo.

Aceleración de la convergencia.

• Método de Aitken.
• Algoritmo de Steffensen.

Sistemas de ecuaciones no-lineales.

 

 

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Tema 5: Interpolación y extrapolación.
 

Introducción.

• Tablas de datos.
• Operadores de diferencias.
• Tablas de diferencias.

Interpolación polinómica.

• Conceptos teóricos.
• Polinomio de Lagrange.
• Matriz de Vandermonde.
• Interpolación en la práctica
• Esquemas de interpolación basados en diferencias.
• Método de Newton diferencias divididas.

Temas avanzados en interpolación

• Interpolación no polinómica.
• Interpolación en varias dimensiones.

Splines.

Extrapolaciones al límite.

• Extrapolación de Aitken.
• Extrapolación de Richardson.

Diferenciación numérica.

 

 

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Tema 6: Ajuste y aproximación de funciones.
 

Introducción.

• Ajuste funcional.
• Selección de un modelo a partir de datos.
• Aproximación de funciones.

Regresión lineal.

• Mínimos cuadrados.
• Máxima verosimilitud.
• Errores en la estimación de parámetros.

Ajustes no lineales

• Ajustes polinomial.
• Otros ajustes paramétricos.
• Ajustes no paramétricos:
• Vecinos próximos.
• Redes neuronales.
• Árboles de regresión.

Aproximaciones uniformes

• Criterio Minimax.
• Aproximación mediante polinomios de Chebyshev.
• Polinomios de Chebyshev.
• Aproximación por Chebyshev.

Aproximaciones no polinómicas

• Aproximantes de Padé.
• Aproximaciones trigonométricas: Serie y transformada de Fourier.

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Tema 7: Cuadraturas numéricas.
 

Cuadraturas basadas en fórmulas de interpolación.

• Fórmulas de Newton-Cotes.
• Método de Romberg.

Fórmulas de Gauss.

Métodos adaptativos.

Manejo de singularidades. Integrales impropias.

Integrales múltiples.

 

 

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Tema 8: Optimización de funciones.

Introducción

• Extremos locales y extremos globales.

Métodos clásicos de optimización

• Optimización en una dimensión
• Método de la razón áurea.
• Métodos basados en interpolación.
• Optimización en varias dimensiones
• Simplex.
• Descenso por gradiente.
• Método de Newton.
• Métodos cuasi-Newton.
• Gradientes conjugados.

Métodos de optimización global

• Algoritmos genéticos.
• Simulación de templado.

item Aplicaciones de la optimización

• Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.
• Ajuste de datos a modelos no lineales.
• Aprendizaje en redes neuronales.

Temas complementarios

Tema A: Herramientas para la computación científica.

• Hojas de cálculo.
• Lenguajes para computación científica: Matlab.
• Mandatos.
• Programación: macros y funciones.
• Gráficos.
• Toolboxes.
• Aplicaciones específicas.
• Librerías numéricas: NAG, NETLIB, etc.

Tema B: El lenguaje de programación FORTRAN.

• Conceptos básicos
• Constantes y variables.
• Expresiones aritméticas básicas.
• Asignación.
• Arrays.
• Estructuras de control
• Iteración.
• Ejecución condicionada.
• Modularidad:
• Funciones y subrutinas.
• Ámbito de las variables.
• Uso de variables compartidas.
• Entrada y salida
• Entrada / salida con formato.
• Manejo de ficheros.
• Novedades introducidas en FORTRAN 90.
• Punteros y gestión dinámica de memoria.
• Recursión directa.
• Operaciones paralelas con arrays (data parallelism).
• Abstracción de datos y polimorfismo.
• Módulos.
• Librerías numéricas en FORTRAN.